题5

题5

题目

[!question]+
设函数 具有二阶连续导数，且 。若两条曲线 在点 处具有公切线 ，且在该点处曲线 的曲率大于曲线 的曲率，则在 的某个邻域内，有 ( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
(解) (法一) 首先，由于函数 具有二阶连续导数，，故 在 对应的点附近均为凸曲线。由凸曲线的性质可知，它们的公切线位于它们上方。因此，.

另一方面，由于 和 在点 处具有公切线，故在点 处，。根据曲率的定义，

, .

由 可知，。由于 ，故 。

考虑函数 。由 和 在点 处相切知，, 。而由前面的论述可知，。由极值的第二充分条件可知， 是 的极大值点，从而在 的某个足够小的邻域内，，即 。

综上所述，应选 A

(法二) 特殊值法。我们将题中的两条曲线分别取作两段圆弧。

以点 为圆心， 为半径作圆，取其位于直线 以上， 以右的部分作为曲线 ；以原点为圆心， 为半径作圆，取其在第一象限内的部分作为曲线 。

这两段圆弧均为凸曲线，且在点 处相切。在该点处， 的曲率大于 的曲率。两条曲线的公切线为 ，即 。由图形易知，在切点附近，。应选 A