题23

题23

题目

[!question]+
已知矩阵 .
( I ) 求 .
(II) 设 3 阶矩阵 满足 . 记 ,将 分别表示为 的线性组合.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
若 相似于对角矩阵 ,即存在可逆矩阵 ,使得 ,则 .

解 (I) 计算 的特征多项式 .

因此, 有 3 个不同的特征值: .

由于属于不同特征值的特征向量线性无关,故 有 3 个线性无关的特征向量, 相似于对角矩阵 .

分别计算 的属于特征值 的特征向量.

当 时,解 . 由于

故 为 的属于特征值 -2 的一个特征向量.

当 时,解 . 由于

故 为 的属于特征值 -1 的一个特征向量.

当 时,解 . 由于

故 为 的属于特征值 0 的一个特征向量.

令 ,则 .

计算 得, .

( II ) 先求 .

由于 ,故

下面我们用数学归纳法证明 .

当 时, .

假设该命题对 成立,下面证明该命题对 也成立.

于是,该命题对 也成立,从而由数学归纳法可知,该命题对所有 的正整数均成立. 因此,

综上所述,