题22

题22

题目

[!question]+
设矩阵 ,且方程组 无解.
( I ) 求 的值;
( II ) 求方程组 的通解.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
已知 无解,我们可以利用 来讨论参数 的值.

(解) I) 由于 无解,故由非齐次线性方程组有解的充分必要条件可知, .

( 表示对第 行作初等行变换后所得新的第 行,每作一次初等行变换,加一个 .)

由上面的式子可知, . 从而, 无解当且仅当 且 . 此时, ,且 ,解得 .

( II ) 当 时, .

对应的齐次线性方程组等价于 为该方程组的一个基础解系. 又因为 是 的一个特解,所以 的通解为 ,其中 为任意常数.

注 在第 ( I ) 问中,还可以利用 求得 或 . 讨论 与 的情况可知,当 时,方程组有无穷多解,不符合题意.