题2
题目
[!question]+
已知函数 则 的一个原函数是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
分析
[!NOTE]+
考虑函数可导的前提是函数连续，验证连续就可以了
解
[!done]-
(1) 我们讨论函数的原函数时, 都是指函数在某一个区间 上的原函数. 原函数在所考虑的区间 上应是连续并且可导的.
(2) 求 的原函数 可以通过求 的不定积分得到.
(3) 若 是 的一个原函数,则 也是 的一个原函数,其中 为任意常数.
(4) 若 连续,则 一定存在原函数; 若 不连续,则 可能存在原函数,也可能不存在原函数.
本题中的 是以分段函数的形式出现的,但不难发现, 在分界点 处连续,从而 在 上连续,于是存在原函数. 可通过在分段区间上求不定积分来求 的原函数.
解 (法一) 当 时,
当 时,
其中 均为任意常数.
进一步,由于 是 在 上的一个原函数,故 在 处应连续.
若 连续,则 .
选项 中, 连续,应选 .
(法二) 首先,由于 是 的原函数,故必连续,而四个选项中的 均是分段函数,于是我们可以分别考察 在分界点处的连续性.
选项 A: . 不连续.
选项 B: 连续.
选项 . 不连续.
选项 D: 连续.
由上可排除选项 A 与选项 C.
选项 B 与选项 D 的差别在于函数表达式.
计算 在 上的原函数,得
其中 为任意常数. 比较 (1) 式与选项 、选项 ,可排除选项 . 应选 .