题18

题18

题目

[!question]+
设 是由直线 围成的有界区域,计算二重积分

分析

[!NOTE]+
二重积分中注意要对复杂的分式结构进行分离常数再积分，不然很难受

解

[!done]-
解 由于积分区域 关于 轴对称,而 是关于 的奇函数,故 .

记原积分为 ,则 .

下面我们用两种方法来计算 .

(法一) 在直角坐标系下计算 .

如图所示,区域 为由直线 围成的三角形 . 求得点 和点 的坐标,分别为 和 的面积等于 . 从而,

其中 是区域 位于第一象限内的部分. 把 看作 型区域, .

因此, .

(法二) 在极坐标系下计算 .

在极坐标系下, ,直线 对应 . 区域 的极坐标表示为

因此,

注 法二中最后一步计算用到了 . 这是因为 而 . 与此同类型的公式还有我们熟悉的 .

如果对余切函数 不熟悉,那么也可以如下计算.