题12

题12

题目

[!question]+
(12) 已知函数 在 上连续,且 ,则当 时,

分析

[!NOTE]+
这里又看错了，指数上面有求导以后会作为系数在前面挂着

解

[!done]-
解 (法一) 逐次求导.

虽然条件中仅给出了 的连续性,但由 知, 可导. 由于 ,故 也可导,从而可推出 为 阶可导函数 ( 为任意正整数).

由数学归纳法可知 .

当 时, .

因此, .

(法二) 先求出 的表达式,再计算其导数.

当 时,由已知等式易求得 .

对已知等式两端关于 求导,得 ,即 . 这是一个一阶非齐次线性微分方程.

由求解公式, 得

代入 得, . 因此, .

对 逐次求导,可得 .

代入 ,得 .

注) 因为题目条件并未直接指出 具有 阶导数,所以应该先说明 阶可导,再求 阶导数. 虽然对于填空题来说,直接逐次求导得到的结果与说明 阶可导后再求其 阶导数得到的结果一致,但后者的做法比前者要严格,在做解答题时,一定不能省去这一步.