题11

题11

题目

[!question]+
(11) 以 和 为特解的一阶非齐次线性微分方程为___.

分析

[!NOTE]+

常做的是二阶线性微分方程解的结构，这里一阶线性微分方程给我搞蒙了一开始，考虑直接待定系数，带入求解，因为结构我们清除，只是缺少系数，同时我们还有方程在手，是可以解出来的

解

[!done]-
(解) (法一) 设原方程为 ,则其对应的一阶齐次线性微分方程为 .

记 ,则 是原方程对应的一阶齐次线性微分方程的解. 将 代入,可得 .

再将 代入 ,得 .

因此,原方程为 .

(法二) 由于已知原方程的两个特解,而一阶非齐次线性微分方程形如 ,故可以用待定系数法来确定 .

由已知条件, 得

(2) 式减去 (1) 式得, . 于是 . 再代回 (2) 式得, . 因此,原方程为 .