题8

题8

题目

[!error]+
Q:设二次型 在正交变换 下的标准形为 ,其中 . 若 ,则 在正交变换 下的标准形为 ( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
A:标准形的变换我还不是很会，核心是以系数矩阵作为桥梁来处理，这有点像同时对角化问题的处理手法。另一方面，还可以通过标准形得到特征值，特征值和特征向量对应，我们可以通过这个特征向量拼凑出来正交变换后的系数矩阵

解

[!done]-
二次型在正交变换下的标准形中的各项系数为其对应的对称矩阵的特征值，变换矩阵的第 个列向量为属于第 个特征值（系数）的特征向量。

根据题意，二次型 对应的对称矩阵 满足 。利用 与 的关系，可以直接求出 ；或者求出 的列向量所对应的 的特征值。

(解) (法一) 由题设知，二次型 对应的对称矩阵 满足 。

又由题设，，故

因此， 在 下的标准形为 。应选 A.

(法二) 由题设知，二次型 在正交变换 下的标准形为 。因此，该二次型所对应的对称矩阵 的特征值为 ，而 分别为属于特征值 的特征向量。

若 ，则由 可知 也为属于特征值 -1 的特征向量。
故 。 在 下的标准形为 。应选 A.