题7

题7

题目

[!question]+
设矩阵 . 若集合 ,则线性方程组 有无穷多解的充分必要条件为
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
分析 本题主要考查非齐次线性方程组 有无穷多解的条件.

元线性方程组 有无穷多解的充分必要条件为 .

本题中的 为一种特殊的行列式 - 范德蒙德行列式. 根据该行列式的性质,我们可以给出一种较简单的解法.

(解) (法一) 当 时, ,故 是 有无穷多解的充分条件.

当 有无穷多解时, ,从而 .

由于 为范德蒙德行列式,故 当且仅当 或 ,即 .

此时,若 ,则 与 和 线性相关,从而 .

再次由范德蒙德行列式的性质可推出 或 ,即 .

因此, 是 有无穷多解的充分必要条件. 应选 D.

(法二) 对 作初等行变换.

( 表示对第 行作初等行变换后所得新的第 行,每作一次初等行变换,加一个 .)

由此可见, 当且仅当 且 ,即 或 , 且 或 ,也即 .

因此, 是 有无穷多解的充分必要条件. 应选 D.

(法三) 排除法. 我们可以把简单的值代入各选项,然后根据 是否有无穷多解来排除错误选项.

选项 代入 ,不符合题意.

选项 B: 代入 ,不符合题意.

选项 : 代入 ,不符合题意.

由上可见,选项 均不是正确选项. 由排除法知,应选 D.