题23

题23

题目

[!question]+
设矩阵 相似于矩阵 .

(I) 求 的值;
(II) 求可逆矩阵 ,使 为对角矩阵.

分析

[!NOTE]+
矩阵相似的考点，不要忘记了矩阵的迹是直接针对原矩阵的，不需要进行任何化简的变换，直接就是题目给的A和B对角线加起来

解

[!done]-
I) 由于 相似,故存在可逆矩阵 使得 ,从而 . . 计算得 . 另一方面, 和 具有相同的迹,故 . 联立得 解得

( II ) 由题设和第 ( I ) 问得,

从而 的特征值为 . 由于 和 相似,故 的特征值也为 .

由第 问可得, .

考虑 的属于特征值 5 的特征向量.

于是, ,求得 为 的一个基础解系. 为 的属于特征值 5 的特征向量.

考虑 的属于特征值 1 的特征向量.

于是, ,求得 和 为 的一个基础解系. 和 为 的属于特征值 1 的两个线性无关的特征向量.

取 ,则 .

(注) 本题给出了两个相似的矩阵 ,它们各含有一个未知量,其中 的形式相对较简单. 由于相似的矩阵具有相同的特征多项式和特征值, 同时计算它们的特征多项式当然能够解出未知参数 ,但注意到相似矩阵的迹和行列式都相等这一点的话,便能简化计算.