题22

[!question]+
设矩阵 , 且 .
(I) 求的值;
(II) 若矩阵满足 ,其中为 3 阶单位矩阵,求 .

[!NOTE]+

考察了幂零矩阵的计算，我这里忘记了，两个矩阵相等，可以直接对两边取行列式形成一个可计算的等式

[!done]-
(1) 对作初等行变换,当变为时, 变为 ,即 .

(2) 先计算伴随矩阵和 ,再利用得到 .

方法 (2) 需要计算伴随矩阵, 当矩阵的阶数较大时, 计算量较大. 因此, 此方法主要适用于 2 阶、 3 阶矩阵. 对于 2 阶矩阵,我们有结论: . 方法 (1) 的适用范围比方法 (2) 广.

(解) (I) (法一) 由知 . 又因为 ,所以 . 由题设可计算得 ,从而 .

(法二) 设为的一个特征值,则由可知 . 于是, 的特征值均为零. 由矩阵的迹等于其特征值之和,可知 ,即 .

( II ) 由第 ( I ) 问知, . 由可得,

化简得 .

由此可知, 均为可逆矩阵,且

下面用三种方法计算 .

(法一) 由得,

计算得 ,故 ,再计算得 .

因此,

或利用初等变换法计算 .

因此,

(法二) 由于 ,故 ,从而

于是, .

因此,

(法三) 分别计算 .

利用初等变换法计算 .

因此,

综上所述,

注 ① 在计算过程中,法一使用了和条件 ,使得计算简化. 但是需要注意的是,矩阵乘法不满足交换律. 由方程得到 ,用的是同时对方程两端的矩阵左乘以及右乘 .

② 法二充分利用了这一条件,使得的计算变得简单.

③ 另一种解题办法是设 ,利用条件得到一个 9 个变元的线性方程组, 计算要复杂很多, 不推荐使用.

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