题21

题21

题目

[!question]+
已知函数 在区间 上具有 2 阶导数, , . 设 ,曲线 在点 处的切线与 轴的交点是 ,证明 .

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
(证) 首先,由于过点 的切线的斜率为 ,且该切线过点 ,故 ,解得 .

因为 在 上单调增加,所以 ,从而 .

因此,

如图 (a) 所示,记点 为 ,点 为 .

下面我们用两种方法证明 .

(a)

(法一) 由拉格朗日中值定理可得,存在 ,使得 ,即弦 的斜率等于曲线弧 上某点 处的切线斜率 . 由于 ,故 在 上为单调增加函数,从而 .

代入 ,得 . 由于 ,故 ,即 .

(法二) 要证 ,即要证 . 整理该不等式得

该不等式的几何意义为过点 ,斜率为 的直线 在 的纵坐标大于 . 我们可证明在 上,直线 位于曲线 之上,如图 (b).

记 ,直线 的方程为 . 要证在 上,直线 位于曲线 之上,即要证当 时, .

由拉格朗日中值定理,有 ,这里 . 从而

由于对任意的 ,都有 ,而 在 上单调增加,故

因此, 在 上恒大于零. 特别地, ,即 , .

综上所述, .