题20

题20

题目

[!question]+
已知高温物体置于低温介质中, 任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比. 现将一初始温度为 的物体在 的恒温介质中冷却, 后该物体温度降至 ,若要将该物体的温度继续降至 ,还需冷却多长时间?

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
分析 本题主要考查微分方程的物理应用.

应根据题目条件建立关于 的微分方程,并利用 来解出 .

解 设物体温度 为关于时间 的函数 ,则物体温度对时间的变化率为 .

由于任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比, 且介质温度恒为 ,故可以建立关于 的微分方程: . 注意: 的符号表示温度随时间推移增加或减少. 由于温度随着时间推移而降低,这里的比例系数 是一个小于零的数.

分离变量得 . 对该方程两端积分得 ,其中 为待定常数.

当 时, ,由此可得 ; 当 时, ,由此可得

因此,

当 时,代入 (1) 式,可得 ,解得 ,即冷却 后,还需要继续冷却 ,才能把该物体温度降至 .

注 请注意正确理解题意. 题目要求的是 “冷却 后,还需继续冷却多少时间, 才能将物体温度降至 ”,而不是 “将物体温度从 降至 ,共需冷却多少时间”. 后者的答案为 ,而前者的答案应为 .