题19

题19

题目

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已知函数 ,求 零点的个数.

分析

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解

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解 (法一) 由 ,可知 在 上均有定义,且

由于 ,故 为 的唯一驻点.

当 时, 单调增加; 当 时, 单调减少. 在 处取到最小值.

因为 ,而 在 上单调增加,所以 在 上只有 一个零点.

由于 ,故 . 又因为 ,两个被积函数 均大于 1,所以 . 由连续函数的零点定理可知, 在 上必然也存在一个零点,且由 的单调性可知,该零点也是该区间上的唯一零点.

综上所述, 在 上共有两个零点.

(法二) 如法一,可得到 在 上只有 一个零点.

下面我们考虑 在 上是否存在零点.

计算 ,得

当 时, ,故 ,从而 .

又因为 ,所以 .

由连续函数的零点定理可知,存在 ,使得 . 由 在 上的单调性可知该点也是 上的唯一零点. 因此, 在 上有且仅有一个零点. 综上所述, 在 上共有两个零点.

注 ① 本题主要考查用导数来分析函数的性质. 方法恰当的话, 计算量并不大. 减少计算量的关键点有两个: (1) 发现 ; (2) 发现 在 上恒大于零. 得到这两点后, 在 上的零点情况便确定了. 之后再进一步讨论 在 上的零点情况.

法一通过观察发现 在 上的取值趋势,省去了寻找两个异号的函数值的步骤, 解法更简单.

② 若直接求 的表达式,则在解题方向上出现了偏差. 这样做不仅直接求积分的计算量大,而且求得的 的表达式十分复杂,直接求零点不大可能.