题14

题14

题目

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设 3 阶矩阵 的特征值为 ,其中 为 3 阶单位矩阵,则行列式

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
根据条件,我们能由 的特征值求出 的特征值,从而利用 为 的特征值) 得到 .

解 (法一) 由于 有 3 个不同的特征值，故 有 3 个线性无关的特征向量，从而存在可逆矩阵 使得 . 于是

因此, .

(法二) 设 为矩阵 的属于特征值 的特征向量,即 ,则

由上可见,若 为 的属于特征值 的特征向量,则 为 的属于特征值 的特征向量. 的 3 个线性无关的特征向量也是 的 3 个线性无关的特征向量,对应的特征值为 . 由此可求得 的特征值为 .

因此, .

注一用到了如下结论.

(1) 若 阶矩阵 具有 个不同的特征值,则 能相似对角化.

(2) 若 阶矩阵 能相似对角化,即存在可逆矩阵 ,使得 为对角矩阵, 则 .