题6 题目 [!question]+ 设函数 在有界闭区域 上连续,在 的内部具有 2 阶连续偏导数,且满足 及 ,则 ( ) (A) 的最大值和最小值都在 的边界上取得. (B) 的最大值和最小值都在 的内部取得. (C) 的最大值在 的内部取得,最小值在 的边界上取得. (D) 的最小值在 的内部取得,最大值在 的边界上取得. 分析 [!NOTE]+ 解 [!done]- (解) 由于 是有界闭区域 上的连续函数,故 在 上必有最大值和最小值. 若 在区域 的内部取得最大值或最小值,则该最值点是 的驻点. 由题设,对区域 内的任何一点,都有 ,故 ,而 ,从而 ,因此 . 特别地,该不等式对区域 内的驻点也成立. 由二元函数极值存在的充分条件知,区域 内的驻点都不是 的极值点. 因此 的最大值和最小值都在 的边界上取得. 应选 A.
