题3

题3

题目

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设函数 具有 2 阶导数, , 则在区间 上 ( )
(A) 当 时, .
(B) 当 时, .
(C) 当 时, .
(D) 当 时, .

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
分析 本题主要考查曲线的凹凸性. 对此类题, 常用数形结合的方法.

设 在区间 上连续, 为 中任意两点. 不妨设 ,

• 若恒有 ,则称曲线 在区间 上凹,如图 (a);
• 若恒有 ,则称曲线 在区间 上凸,如图(b).

从图形上看,过凹曲线 上的任意两点的弦 均位于该凹曲线之上,即 ; 过凸曲线 上的任意两点的弦 均位于该凸曲线之下,即 .

解 由于 , ,故 表示的曲线是过点 , 的弦.

由分析知,若 在 上凹,则 ; 若 在 上凸,则 . 由于 具有 2 阶导数,故曲线的凹凸性可以由 确定. 当 时, 在 上凹,从而 . 应选 D.

一阶导数的符号与曲线的凹凸性没有直接关系. 作为选项 的反例,可以考虑曲线 ; 作为选项 B 的反例,可以考虑曲线 .