题23

题23

题目

[!question]+
Q:证明 阶矩阵 与 相似.

分析

[!NOTE]+
A:实对称矩阵和秩1矩阵的矩阵相似问题，这里转化为相似于同一个对角矩阵，而这个对角矩阵来自于他们特殊的特征值性质

解

[!done]-
由于 是实对称矩阵,故其相似于对角矩阵. 因此要证题设中的两矩阵相似,

可以考虑证明它们都相似于同一个对角矩阵.

证 (法一) 记 .

由观察可知, . 又由于 为实对称矩阵,故必相似于对角矩阵. 由相似的矩

阵具有相同的秩和迹可知, 相似于秩为 1,迹为 的对角矩阵,不妨记为 .

另一方面,计算 的特征多项式得,

的特征值为 ,其中 0 为 重特征值.

由于 ,故 ,从而 的解集的秩为 ,

有 个线性无关的解.

有 个属于特征值 0 的线性无关的特征向量,再加上 的属于 的特征向量, 共有 个

线性无关的特征向量. 从而 也相似于 .

因此,存在可逆矩阵 ,使得 ,于是 .

令 ,则 和 相似.
这里有ocr遗漏，回去看书

由于 为实对称矩阵,故由 的特征多项式为 可知 相似于对角矩阵 其余同法一.