题22

题22

题目

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设矩阵 为 3 阶单位矩阵.
( I ) 求方程组 的一个基础解系;
( II ) 求满足 的所有矩阵 .

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
解 (I) 考察系数矩阵 .

( 表示对第 行作初等行变换后所得新的第 行,每作一次初等行变换,加一个 .)

可化为方程组 由此可得 为 的一个基础解系.

(II) 实际上我们要求的是三个非齐次线性方程组 的解. 由于它们的系数矩阵都是 ,故可考虑对 作初等行变换,同第 问中的步骤可得

由于 为 矩阵, 为 3 阶单位矩阵, 应为 矩阵,从而知, , 分别为 的一个特解.

与第 问中 的通解相结合,得到 的通解分别为

其中 为任意常数.

因此, ,其中 为任意常数.