题21

题21

题目

[!question]+
已知函数 满足 ,且 ,求
曲线 所围图形绕直线 旋转所成旋转体的体积.

分析

[!NOTE]+
这是不规则的，不是坐标轴的旋转体的体积，不能直接套公式，这里要理解公式再操作，这里是隐函数，一时之间找不到函数不要忘了反解一下，或者，把题目给的这个作为下界来积分

解

[!done]-
解 由 得

又由于 ,故

. 因此, .

曲线 的方程为 . 由 可得该曲线上的点的横坐标满足 ,解得 ,而曲线上的点 到旋转轴 的距离为 ,故曲线所围图形绕 旋转所得旋转体的体积为

注 求本题中旋转体的体积, 并无现成的公式可套用. 因此, 我们应该从基本方法出发来求解.

在推导公式 时,我们使用的是元素法,体积元素是半径为 ,厚度为 的薄圆片,其中, 是曲线上的点 到旋转轴 轴的距离.

曲线 上的点 到旋转轴 的距离为 ,由此可推知,