题19

题19

题目

[!question]+
设函数 在区间 上连续,且 单调增加, .
证明:
(I) ;
(II) .

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
(证) (I) 由于在 上, ,故

不等式得证.

(II) (法一) 构造辅助函数 ,则第(II) 问中的不等式等价于 . 由于 ,故若能证明 ,则由 在 上单调增加可推出 .

计算 .

由第 问知, ,故 . 于是,由 在 上单调增加可知,

从而 在 上单调增加.

因此, ,原不等式成立.

(法二) 在下面的证明中, 我们将用到积分中值定理的一个一般形式.

若 在 上连续,且 在 上不变号,则

其中 .

记 .

我们证明 ,从而证明原不等式成立. 改写 ,得

由于 ,故 在 上不变号. 由积分中值定理可得

其中, .

由于 在 上单调增加,故 ,从而

因此, ,原不等式得证.