题18

题18

题目

[!question]+
设函数 具有 2 阶连续导数, 满足

若 ,求 的表达式.

分析

[!NOTE]+
二阶常系数线性微分方程我们算二阶常系数非齐次线性微分方程-非齐次的特解的时候，设置的，如果右边就是一个x，注意是设置的是带系数的多项式，比如这里的x就是，最后是要把这个x解出来的

解

[!done]-
解 分别计算 和 .

由 可得

我们得到一个二阶常系数非齐次线性微分方程 .

该方程对应的齐次方程的特征方程为 ,因而解为 ,其中 为待定常数.

由于 0 不是特征方程的根,故 有形如 的特解. 代入原方程得 . 于是 . 因此,原方程的解为

代入初值以确定 的值. 由 得, . 由 得, . 从而解得 .

因此, .