题10

题10

题目

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设 是周期为 4 的可导奇函数,且 ,则

分析

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解

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解 由于 是周期为 4 的函数,且 ,故 .


(法一) 由 为奇函数可得 . 由当 时, 可得, 在 上的表达式为

于是 . 由 为奇函数得, ,即 .

(法二) 由 为奇函数可知, . 在等式两端求导得 ,从而

为偶函数, 的图像关于 轴对称. 在 上, ,为一条过点 和点 的直线. 由此可知,在 上, 为过点 和点 的直线,可求得 . 从而, 在 上为

因此, ,即 .

(注) 本题的法二与 2013 年第 (18) 题的证明都用到了如下结论: 若 可导,则当 为奇函数时, 为偶函数; 当 为偶函数时, 为奇函数.