题4

题4

题目

[!question]+
设函数 若反常积分 收敛,则 ( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
注意反常积分的这种结构，把，转化为的标准情况

解

[!done]-
解 由 的定义,知

由于 收敛,故上式中的两个积分值均应存在且有限.

考虑积分 . 当 ,即 时,该积分为普通定积分. 当 时,该积分为无界函数的反常积分 (瑕积分),瑕点为 .

若该积分收敛,则 存在,从而 ,即 .

考虑无穷区间上的反常积分 .

若 收敛,则 存在,从而 ,即 .

综上所述,若 收敛,则 . 应选 D.