题3
题目
设函数 ,则
(A) 是函数 的跳跃间断点.
(B) 是函数 的可去间断点.
(C) 在 处连续但不可导.
(D) 在 处可导.
分析
一元函数是否可导，特别是出在选择题里，一定是用定义来算，而不是直接把分段函数求导，带入，一般在分段点这里不允许这么做，会设置坑。核心问题是，变限积分可导的前提是连续，这种分段的，导完记得给个C，把C算出来，看看能不能连续
我们再结合一个真题细细品味一下：题3
解
若 为 上的可积函数, ,则变限积分 连续. 若 连续,则 可导, 且 . 若 有跳跃间断点,则 在 的跳跃间断点处不可导.
(解) (法一) 由于 有界且只有一个跳跃间断点,故 可积,而 ,于是 连续. 另一方面,由于 是 的跳跃间断点,故 在 处不可导. 应选 C.
(法二) 在 上,
在 上,
因此,
由于
且由 的定义可得 ,故 在 处连续.
由于
故 在 处不可导. 应选 C.
注 ① 法二实际上是以本题中的 为例,具体验证了法一中用到的结论.
② 注意: 当 时, ; 同样,
③ 关于变限积分形式函数的可导性, 有如下结论.
若 在 上除点 外均连续, 是 的第一类间断点, ,则
当 为 的跳跃间断点的时候, 在 处不可导;
当 为 的可去间断点的时候, 在 处可导,但
由上可以看出,当 有第一类间断点的时候, 不可能有原函数.