题22

题22

题目

[!question]+
设 . 当 为何值时,存在矩阵 使得 ,并求所有矩阵 .

分析

[!NOTE]+
考虑直接解矩阵方程，我这里因为太复杂了，有一步抄错了，所以没写出来

解

[!done]-
关于矩阵的迹,有这样一条性质: 若 为同阶方阵,则 的迹等于 的迹.

解 (法一) 设 ,则由 可得

写成线性方程组的形式:

记该线性方程组为 ,则 有解当且仅当 .

表示对 作初等行变换后所得新的第二行. 由上可见,若 ,则必有 , 从而 .

当 时,

即 和 为该方程组对应的齐次线性方程组的一个基础解系. 又 为 的一个特解,故 的通解为

其中 为任意常数.

因此,当 时,存在 使得 . 此时的 形如 ,其中 为任意常数.

(法二) 由于 的迹等于 的迹,故 的迹等于零. 因此 .

设 ,则由 可得

将 代入 可得 . 与 比较得, .

从而 . ! 其余同法一.

注 法二与法一实际上差别不大. 法二中,在确定 以后,通过设 的元素为未知数来求 的过程相对简单一点.