题20

题20

题目

设函数 .
(I) 求 的最小值;
(II) 设数列 满足 ,证明 存在,并求此极限.

分析

用单调有界准则的时候，我常常在用两边取极限这一步，含混带过数列有上界这个步骤，说明数列有上界，考虑把用其他的一个式子表达出来，然后看表达式是否是什么特殊函数，或者有什么不等式，或者题目的提示的不等式，可以放缩、夹逼出来

解

分析 本题主要考查一元函数的极值、最值问题与数列收敛的单调有界准则.
第 (I) 问求 的最小值可以从 的单调性入手. 关于第 (II) 问的证明,较自然的想法是利用单调有界准则,从而我们的目标是证明 单调且有界.
(解) (I) 首先, 的定义域为 . 计算 ,得 .
当 时, ,故 为 的驻点; 当 时, 单调增加; 当 时, 单调减少.
因此, 的最小值为 .
(II) 若能证明 单调且有界,则能证明 存在.
由第( I ) 问的结论及第( II ) 问的条件,

故 . 由题设, 应为正项数列,故由 可得 ,即 单调增加.
由 得, ,即

故 单调增加且有上界.
因此,由单调有界准则知, 存在.
记 ,则 . 对不等式 两端取极限得

又由第 问得, ,故 ,此时 ,即 .
(注) 求 之前,先要证明 存在. 在没有证明 存在的情况下,直接对不等式 两端取极限的做法是错误的.