题19
题目
[!question]+
求曲线 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.
分析
[!NOTE]+
拉格朗日乘数法可能只能看出来，或者说自己的计算能力和观察力有限，只解出来一组解，那么极大极小值，我们就还缺一个，就去端点上看看
解
[!done]-
本题的目标函数可设为平面中任意一点到原点的距离的平方 ,约束条件为 ,可构造拉格朗日函数进行计算.
拉格朗日乘数法 (三个自变量、一个约束条件的情形)
求函数 在条件 下的极值,可以作拉格朗日函数 . 联立等式
求得 在条件 下的所有可能极值点,然后代入 计算得出各点的值, 比较大小, 从而确定极值.
其余情形与上述情形类似.
解 作拉格朗日函数 . 令
整理 (1) 式, (2) 式得
当 时,由 (4) 式,(5) 式可得 ; 当 时,由 (4) 式可得 ; 当 , 时,由 (5) 式可得 . 由于点 不在曲线 上,故以上情况均不符合题意.
下面只考虑 的情况.
当 时, 式得, ,整理得 ,即
当 时, ,故只有 成立. 代入(3) 式,可得 .
分解因式,得 . 由于 ,故 ,从而 . 点 为曲线 上唯一可能的极值点. 此时, .
考虑曲线端点到原点的距离,当 时,代入曲线方程得 ; 当 时, 代入曲线方程得 .
综上所述,最长距离为 ,最短距离为 1 .
注 本题也可以通过 (1) 式 + (2) 式,(1) 式 - (2) 式将 及 写成关于 的函数的形式,然后再代入(3) 式中求得 的值. 但这样计算量就会大许多,不是一种好的方法.
虽然我们构造了拉格朗日函数, 并通过它来寻找可能的极值点, 但它仅仅是一个辅助函数, 也只是一个中间变量,我们最终需要的并不是 的值. 可以不求 的值而求得驻点并省去许多计算的话, 当然应该选择这种更简捷的算法.