题18

题18

题目

[!question]+
设奇函数 在 上具有 2 阶导数,且 . 证明:

( I ) 存在 ,使得 ;

(II) 存在 ,使得 .

分析

[!NOTE]+
我用泰勒公式做，但是我感觉我写得不严谨，我这里没有构造出来的原因是，我一直想弄的结构是这样的，这种结构显然是不对的，如果用乘法的求导法则，就要把1保留下来，如果是往回找原函数的零点，1就应该变成x，和第一问是类似的

解

[!done]-
由 为奇函数得 . 由于 ,且 在 上可导,故由拉格朗日中值定理得,存在 ,使得 ,即 .

(II) (法一) 构造辅助函数 在 上可导.

若能在 上找到两个点 ,使得 ,则由罗尔定理可得,存在 ,即 .

由于 是 上的奇函数,故 . 该等式两端同时关于 求导得 . 于是 是 上的偶函数. 从而,

由于 ,故 .

由罗尔定理可知,存在 ,即 .

(法二) 构造辅助函数 在 上可导.

由于 是 上的奇函数,同法一中的论证可知 是 上的偶函数. 为第 (I) 问中所得,满足 ,从而 . 因此 .

由罗尔定理,存在 ,使得 . 又因为 ,所以 ,即

下面我们谈谈法二中构造辅助函数的方法.

题目要证的等式为 ,形如 . 对于此类型的等式,我们可以构造辅助函数 ,从而

由于 ,故证明 “存在 ” 可转化为证明 “存在 ”, 问题再次归结为罗尔定理的应用.

对应到本题, ,从而我们取 (这里 ,我们取 ).