题8

题8

题目

[!question]+
设 为 3 阶矩阵, 为 3 阶可逆矩阵,且 . 若 , ,则
(A)
(B)
(C)
(D)

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
由 作初等变换得到,故本题的解题关键在于写出该初等变换所对应的初等矩阵.

解 (法一) 由题设知, ,故 . 从而

应选 B.

(法二) 由题设知, 是 的特征值, 分别是属于特征值 的特征向量,即

从而 也是 的属于特征值 1 的特征向量.

又由于 由 作初等变换得到, 可逆,故 可逆. 于是 . 应选 B.

注 事实上,本题中的 相互相似,故它们应具有相同的迹,从而可以较快排除选项 C 和选项 D. 另一方面,由于四个选项中的矩阵均为对角矩阵,故 的对角元应分别为 的列向量的相应特征值. 由题设知, 为属于特征值 1 的一个特征向量, 为属于特征值 2 的一个特征向量, 故可知应选 B.