题23
题目
[!question]+
已知 ,二次型 的秩为 2 .
( I ) 求实数 的值;
(II) 求正交变换 将 化为标准形.
分析
[!NOTE]+
解
[!done]-
本题第 (I) 问要求 的值。这可以从二次型 非满秩出发来求解，因为 非满秩等价于对应的实对称矩阵 非满秩。
第 (II) 问要求将 化为标准形的正交变换。由于对实对称矩阵来说，将它对角化的正交矩阵的列向量也是它的特征向量，故第 (II) 问实际上是要我们求出 的特征向量。
(解) (I) (法一) 二次型 的秩等于它所对应的实对称矩阵 的秩，于是 。
下面我们证明 。
由于 与 的列数相等，故证明 只需要证明 与 同解。
若 满足 ，则 ，即 。
另一方面，若 满足 ，则 ，即 。由于 当且仅当 ，故 。因此，。
我们可以对 作初等行变换，求得 时的 的值。
由此看出，仅当 时，，故 。
(法二) 由于 ，而 为 矩阵，故 。
求得 。因此，由 可得 。
(II) 由第 (I) 问可得，，从而 的特征多项式为
的特征值为 。
下面分别计算属于特征值 的特征向量。
当 时，
经化简得 为该方程组的一个基础解系。
当 时，
得 为该方程组的一个基础解系。
当 时，
得 为该方程组的一个基础解系。
由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故 相互正交。将 单位化，得
取 ，则 为正交矩阵，且 。
因此，正交变换 将二次型 变成标准形 。
注 ① 法一中利用了 ,从而使我们只需要对 作初等行变换就能得到 的值,在计算上比法二要简单. 事实上,这是一个在教材上出现过的结论,见同济大学《线性代数》 (第六版) 第 102 页. 这说明, 掌握并熟练运用教材中出现过的常用结论, 对我们解题是很有帮助的.
② 正交矩阵需满足列向量两两正交,且均为单位向量. 在求得 的特征向量后,虽然这三个特征向量两两正交, 但它们所组成的矩阵不一定是正交矩阵, 因此需要将它们单位化.