题20

题20

题目

[!question]+
证明 .

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
证 (法一) 考虑辅助函数 .

由于

故 为偶函数. 如果能证明当 时, ,那么当 时,也有 , 从而题给不等式成立.

计算 .

由于当 时, ,故

等号在 时取得. 又因为 ,所以 ,等号在 时取得.

因此,当 时,

综上所述, 在 上单调增加, 为 在 上的最小值. 又由 为偶函数可知,在 上, ,即 .

(法二) 在法一中求得 后,继续求 以判断 的性质.

由于当 时,

故 在 上单调增加, 在 上单调增加.

其余同法一.

(法三) 首先, 为偶函数, 也为偶函数,故我们只需证明, 在 上, ,并且 ,便能得到在 上, .

由泰勒中值定理, 为介于 0 和 之间的某个值. 于是,当 时, . 从而

若能证明 ,则由不等号的传递性可知原不等式得证.

由于当 时,

故我们只需要证明 .

考虑 .

当 时, ,从而 在 上单调增加,

综上所述, 原不等式成立.