题17
题目
[!question]+
过点 作曲线 的切线,切点为 ,又 与 轴交于 点,区域 由 与直线 围成. 求区域 的面积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积
分析
[!NOTE]+
解
[!done]-
解 ① 求区域 的面积.
(法一) 过点 作 轴的垂线 ,因此 的面积为曲线 与直线 轴围成的曲边三角形 的面积减去 的面积. 下面求点 和点 的坐标.
由于曲线 的方程为 ,故 . 于是过点 的曲线 的切线斜率为 ,且该切线过点 ,故由斜率公式知 . 解该方程得 . 代入曲线 的方程得 . 因此,点 的坐标为 .
另一方面,由于曲线 与 轴交于点 ,故点 的坐标 满足 . 因此 ,点 的坐标为 .
根据三角形的面积公式以及定积分的几何意义,
因此,区域 的面积 .
(法二) 由点 和点 的坐标求出直线 的方程,进而可利用二重积分来求区域 的面积.
由法一中得到的点 和点 的坐标可求出直线 的方程, .
因此,区域 可表示为
的面积 为
② 求旋转体的体积.
绕 轴旋转一周的体积 可以看作曲边三角形 绕 轴旋转一周得到的旋转体体积 减去 绕 轴旋转一周得到的圆锥体体积 .
由于该圆锥体的底面半径为 2,高为 ,故由圆锥体的体积公式可得, .
由旋转体的体积公式可得
因此,
注 法一的计算量比法二的计算量小. 在求旋转体的体积时, 也可以用旋转体的体积公式来求圆锥体的体积, 但那样同样增加了计算量, 不推荐使用.