题4

题4

题目

[!question]+
(4) 微分方程 的特解形式为 ( )
(A) . (B) .
(C) . (D) .

分析

[!NOTE]+
通过解的叠加原理，用微分算子法比较方便

解

[!done]-
线性微分方程的解的叠加原理 若非齐次线性微分方程形如

而 与 分别是方程 和方程 的特解,则 也是方程 的特解.

我们并不知道当 时, 的特解形式是什么,但我们知道当 和 时, 的特解形式分别是什么,从而可以由叠加原理得到所需的特解形式.

解 先写出 与 的特解形式.

由于 的特征方程为 ,故 为特征方程的单根. 对于方程 , 由于 是其特征方程的单根,故它的特解形如 ; 同理,方程 的特解形如

因此,根据线性微分方程的解的叠加原理, 的特解形式为