题3

题3

题目

[!question]+
(3) 函数 的驻点个数为 ( )
(A) 0 . (B) 1 . (C) 2 . (D) 3 .

分析

[!NOTE]+
没什么难度，高中问题

解

[!done]-
解 (法一) 由于

故

的零点为 的根. 由于该方程的判别式

故该方程有 2 个不同的实根.

因此, 有 2 个零点, 的驻点个数为 2 . 应选 C.

(法二) 本题可用罗尔定理结合多项式的零点个数与其次数的关系来判断 的驻点个数.

当 时,

令 ,则 的零点个数与 的零点个数相同.

有 3 个根, 和 . 由罗尔定理知, 在 上各有 1 个零点. 又因为 为三次多项式, 为二次多项式, 至多有 2 个零点,所以 有且仅有 2 个零点,即 有且仅有 2 个零点. 的驻点个数为 2 . 应选 C.

注 法二避免了将 展开的计算,较为快捷. 但在使用法二时应注意, 若由罗尔定理确定的零点个数小于对应的多项式次数, 则还需对该多项式进行进一步检验.