题2

题2

题目

(2) 设函数 在 处可导,且 ,则
(A) .
(B) .
(C) .
(D) 0 .

分析

没什么难度，套用导数的定义

解

(法一) 利用导数的定义来求极限.

应选 B.

(法二) 分别写出 与 在 处的一阶泰勒公式.

代入所求极限得

应选 B.

注 ① 根据极限运算法则, 法一中的第三个等号成立的前提是拆分后所得的两个极限均存在, 否则 “差的极限等于极限的差” 并不成立.

② 注意,本题中只提供了 “ 在 处可导” 的条件,而没提供 在 的去心邻域内可导的条件,故极限式的分子 不满足使用洛必达法则的条件.

下面的做法是错误的.

上面的做法中还有一个错误,倒数第二个等号需要用到 的连续性,但是根据题目条件我们并不知道这一点.

③ 只在 处可导,但在 的任何一个去心邻域内都不可导的函数是存在的.

例如 ,其中 是狄利克雷函数. 在 处连续且可导,但在其他点处都不连续,从而都不可导.