题16

题16

题目

[!question]+
(16) (本题满分 11 分)
设函数 由参数方程 确定,求 的极值和曲线 的凹凸区间及拐点.

分析

[!NOTE]+
注意这是一元的，只是写成了参数的样子，我一上来直接脑子里想的是二元的，参数方程求导的时候有一个小技巧，规避掉对这x导，转化为t的导

解

[!done]-
解 求 的导数 以及 .

由 式可知,当 时, ; 当 时, ; 当 时, . 因此, 处处可导且参数 所对应的点满足 对应的点为 , 对应的点为 .

由于函数 二阶可导,故可以通过 的符号来讨论 的极值.

在点 处, ,故 为极大值点,对应的极大值为 ; 在点 处, ,故 为极小值点,对应的极小值为 .

下面讨论曲线 的凹凸区间以及拐点.

由 (2) 式可知,当 时, ; 当 时, ; 当 时, 对应的点为 .

是关于 的单调增加函数. 由反函数求导法则知, ,故 也是关于 的单调增加函数. 从而,

• 当 时, ,曲线 为凹曲线;
• 当 时, ,曲线 为凸曲线.

因此, 的极大值为 ,极小值为 . 曲线 的凹区间为 ,凸区间为 ,拐点为 .