题8

题8

题目

[!question]+
(8) 设 为 4 阶实对称矩阵,则 . 若 的秩为 3,则 相似于
(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

分析

[!NOTE]+
实对称矩阵矩阵的相似，考虑给已知的等式引入特征值来做构造，与实对称矩阵相似的对角矩阵的特征值和实对称矩阵相同的

解

[!done]-
(解) (法一) 不妨设 为 的特征值, 为其相应的特征向量. 由 得 . 代入 得, . 又由于 非零,故 或 .

由于 为实对称矩阵,故 相似于对角矩阵. 又因为 ,所以对角矩阵的秩也为 3,

是 的三重特征值, 相似于 . 应选 D.