题6

题6

题目

[!question]+
(6)
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
二重积分的定义，积的是每个小方块，每一个微元是和，应该把他们当做变量

解

[!done]-
先回顾一下用极限来刻画定积分.

对于 上的一元有界函数 ,若其在 上的定积分 存在,则

其中 是 上的任意一个划分: 的小区间长度的最大值, , 且 的值与 及 的取法无关.

下面再来看看用极限来刻画二重积分.

对于有界闭区域 上的二元有界函数 ,若其在 上的二重积分 存在,则

其中 是 的任意一个划分: 的小闭区域直径的最大值, ,且 的值与 及 的取法无关.

我们的目标是对原表达式进行恒等变形以将其写成某个函数的二重积分 (或定积分的乘积) 的形式.

解 (法一) 考虑将原极限写成二重积分.

令 ,则 为 上的一个划分, 的面积为 . 取 上的一点 .

由于

故

应选 D.