题18

题18

题目

[!question]+
一个高为 的柱体形贮油罐,底面是长轴为 ,短轴为 的椭圆. 现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为 时 (如图),计算油的质量. (长度单位为 ,质量单位为 ,油的密度为常量 ,单位为 ).

分析

[!NOTE]+
属于二重积分的应用，这里要记得椭圆的面积公式:，和圆的面积公式的结构是一样的
然后我们就只用算这部分近似于细长条的矩阵区域

解

[!done]-
解 以贮油罐的底面中心为原点, 轴方向平行于地面方向建立直角坐标系 ,则平放时贮油罐底面所对应的椭圆方程为 .

由于油的密度为常量,贮油罐为柱体,故油的质量 ,其中 为柱体的高, 为底面油面的面积. 因此,要求油的质量,只需求出平放时油面的面积 .

设油面所占区域为 . 下面用两种方法来求 的面积.

(法一) 利用定积分计算区域 的面积.

记 为 在 的半平面上的部分. 由于区域 关于 轴对称,故 的面积是 的面积的 2 倍. 如图所示, ,其中 为 位于 轴上方的部分, 为 位于 轴下方的部分.

根据椭圆面积公式, 的面积为 .

将 看作由曲线 与直线 轴, 轴所围区域. 由定积分的几何意义,

因此,

,油的质量为 .

(法二) 利用二重积分来计算 的面积.

将区域 看作 的半平面上的 型区域,由椭圆方程 解得 . 于是,

从而

其余同法一.