题20

题20

题目

[!question]+
设 是区间 内过点 的光滑曲线. 当 时,曲线上任一点处的法线都过原点; 当 时,函数 满足 . 求 的表达式.

分析

[!NOTE]+
按照它说的做就好了，这个只是算起来很麻烦，注意不要算错了

解

[!done]-
解 在 以及 上分别计算 .

当 时,曲线上任一点 处的法线都过原点,故点 处的法线斜率为 . 由同一点处的切线斜率与法线斜率的乘积为 -1 可得,点 处的切线斜率为 . 分离变量得

于是 ,其中 是待定常数. 由 可知 ,再代入 , 可求得 .

因此,在 上, .

当 时,通过解 得到 的表达式.

为二阶常系数非齐次线性微分方程,其对应的齐次线性微分方程为 . 由于 的特征方程为 为特征方程的一对共轭复根,故 的解为 ,其中 为待定常数.

由待定系数法求 的特解. 由该方程的形式可知,该方程有形如 的特解. . 代回 得 ,故 ,所求特解为 .

因此, 的解为 ,其中 为待定常数.

由于所求曲线 为光滑曲线,故 连续且一阶导数连续. 特别地, 在分界点 处连续且一阶导数连续,可由该条件确定 的值.

由 得, .

由于 连续,故

于是 .

综上所述, 可知