题18

题18

题目

[!question]+
设非负函数 满足微分方程 . 当曲线 过原点时,其与直线 及 围成平面区域 的面积为 2,求 绕 轴旋转所得旋转体体积.

分析

[!NOTE]+
注意这里是先化成一阶线性微分方程再转化为可分离变量的微分方程这种类型的，不要糊涂了

解

[!done]-
解 当 时, 可写为 . 令 ,得 . 整理得,

这是一个关于 的一阶非齐次线性微分方程. 由求解公式可得,

其中 为待定常数. 因此, . 该等式两端同时对 积分得

其中 均为待定常数, .

由于 过原点,将 代入 式得 .

又因为曲线 与直线 及 围成的平面区域 的面积为 2,且 非负,所以由定积分的几何意义可知 ,即 . 从而求得 .

因此, .

(法一) 取体积元素为以底面半径为 ,高为 ,厚度为 的圆柱壳的体积,则