题17

题17

题目

[!question]+
设 ,其中 具有二阶连续偏导数,求 与 .

分析

[!NOTE]+
全微分可以多尝试全微分形式的不变性，也就是对每个元素直接导，更严谨的说法是微分

解

[!done]-

函数 的复合结构如图所示.

和 具有相同的复合结构. 计算 时, ; 计算 时, .

解 下面的 分别表示 .

(法一) 将中间变量 依次记为 号. 利用链式法则,计算 .

因为 ,所以

由于 的二阶偏导数连续,故 . 因此,

(法二) 利用全微分形式的不变性.

由于 具有二阶连续偏导数,故 均可微.

因此, .

继续对 微分,得

其中,

的系数 .

其余同法一.

注 本题中函数 有三个中间变量 . 在利用链式法则计算 时要仔细,不能遗漏,也不要忘记 与 均以 为中间变量, 且具有相同的复合结构.

下面的错误要避免.