例6.46

例6.46

题目

P172 设函数 在 上二阶可导, ,证明: 存在 使 .

分析

题目给了或者这种描述，本质上是想说这是连续函数闭区间上的性质，也就是在其中可以取到极值，有驻点，可以泰勒在驻点处展开
这是牛顿插值法，葫芦喜欢逆推构造二次函数和三次函数，分别对应二阶导和三阶导，然后用条件把系数确定下来以后，直接用拟合构造的函数来处理

解

【证】由题意可知, ,又 ,故存在 ,使得 .
由牛顿插值辅助法,设 ,令

代入 ,即 ,则 ,故 .
令 ,则

根据罗尔定理,存在 ,使得 . 故存在 ,使得 ,即 ,则