例6.30

例6.30

题目

Q:P156 设函数 在 内具有二阶导数,若对任意的 ,都有
证明: .

分析

A:这里题目里面读完感觉啥也没给，怎么办，但是还是给了二阶导数这种条件，也还带着绝对值，能感觉到用泰勒公式展开
还是那个带点优先级的问题，这里的根号2，可以想一下为什么会有根号2，感觉一般都是均值不等式会带着出来，因为有，而均值不等式里面最重要的就是构造中点，这也和之前泰勒在哪里展开的优先级是不谋而合的

解

【证】任给 ,将 与 都在 处展开,得

其中 介于 与 之间, 介于 与 之间.
①-②得

所以

因为 ,所以 . 又因为 ,当且仅当 时, 取得最小值 ,所以 .