例6.27

例6.27

题目

Q:P154 设函数 在 上二阶可导, ,且 ,证明:
.

分析

A:例6.30和例6.32和现在这里题都是一个系列的，可以选择泰勒公式展开看看，给了端点，要么就要考虑中值定理，要么就要考虑在端点、驻点，极值点这些地方用拉格朗日型余项泰勒公式，注意是拉格朗日型余项！
葫芦说我上面写的这种手法，在某点处展开，比如，然后带入另一个点，本质上这是拉格朗日中值定理的想法，描述的是存在某个中点的性质，是对各种存在性质的题目的解决办法
但是这里这个题目，问的是某种任意性
如何处理这种任意性，就是要把存在性质中的点，视作是变量，让它动起来，形成任意性
为什么可以手动取这个
这里的，是一个中间值，是一个介于和端点之间的某个值来做展开，这个值是可以取的，这个取值的过程是一个任意性的过程

解

【证】由泰勒公式, 有

其中 介于 0 与 之间, 介于 1 与 之间.
因为 , 所以

又因为 , 所以 .