例5.9

例5.9

题目

Q:P120 设函数 在 处有二阶导数,则 ( ).
(A) 当 在 的某邻域内单调增加时,
(B) 当 时, 在 的某邻域内单调增加
(C) 当曲线 在 的某邻域内是凹的时,
(D) 当 时,曲线 在 的某邻域内是凹的

分析

A:2022年数二真题：题3
邂逅遗憾说：导数若存在（也就是可导），导数要么连续，要么只可能有振荡间断点。这个结论和导数极限定理紧密相关，同时涉及了极限和导数的讨论
另一方面，函数连续才能有导数
另一方面，注意单调性中大于小于0，和孤立的点，是否可以取到0的关系
往往我们说他是单调的，其实不妨碍，它的导函数在起点是可以取到0的
导数大于0不能推出来，某点领域内导数大于0，也就是原函数在在邻域内单调

解

【解】应选(B).
对于选项 ,若曲线上的点相依相偎充分近,变化率用 可能测不到,即可能 . 如 ,则 在 的某邻域内单调增加,但 ,排除 (A);
对于选项(B),由于 在 处有二阶导数,故 在 处一阶导数连续,即 . 由局部保号性,存在 ,当 时,有 ,于是, 在 的某邻域内单调增加, 选择(B);
对于选项(C),道理同(A),点相依相偎充分近,凹凸性用 可能测不到. 如 ,则曲
线 在 的某邻域内是凹的,但 ,排除 ;
对于选项(D), 一点附近的凹凸性不能被该点的二阶导数正负所确定, 除非二阶导数在该点还连续, 使得其在该点附近均有二阶导数的定号结论, 排除(D).

Q:导数的存在与否，和间断点有什么关系？
A:导数若存在，导数要么连续，要么只可能有振荡间断点，这个间断的关键在于，无法从某点推及到领域内