例5.6

例5.6

题目

Q:P118 证明: 若函数 在 上连续,在 内可导,则 在 上严格单调递增的充分必要条件是 且 在 的任意子区间上不恒为零.

分析

A:注意用函数单调性推自变量大小这个事情，之前做数列的时候，函数嵌套一个数列，经常使用这个技巧

解

【证】必要性. 因为函数 在 上严格单调递增,所以

根据极限的保号性及导数定义, 有

若 在 的某子区间上成立,则函数 在此子区间上恒为常数. 这与条件矛盾. 得证.
充分性. 由 知函数 在 上单调不减.
若存在 ,使得 ,则函数 在子区间 上恒为常数,从而 在此子区间上恒为零. 这与条件矛盾. 得证.