例13.45

例13.45

题目

Q:P330 设有二阶连续偏导数,用变换可把方程简化为,求常数.

分析

A:真题改编，这种全微分形式的不变性，偏导数变换的题目，考过两回，题8，题19，还有题20，又做了一遍，这次把xy用uv反解表达了，虽然算错了，但是证明了这个办法可行：

解

【分析】 作为 的函数满足微分方程

( * )
在变换 下, 变为 的函数,利用复合函数求导法,分别将 对 的一、二阶偏导数用 对 的一、二阶偏导数来表示,代入 ( * ) 式导出 关于 的微分方程,确定 的值使之化为 .
【解】由复合函数求导法得

由 ,得 .
当 即 时, .