例3.5

例3.5

题目

Q:P90 设函数 在区间 内有定义,且在点 处连续,则下列命题中
① 当 时, 在点 处可导;
② 当 时, 在点 处可导;
③ 当 在点 处可导时, ;
④ 当 在点 处可导时, .
真命题的个数为 ( ) .
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

分析

A:对于有定义的理解，有定义，有极限，和函数值是三码事，有定义不代表连续
同时，这还是2020年数一的真题，也就是题5
这是极限的运算法则里面的那两个分式的结论

解

【解】应选(A).
①因为 ,所以 ,又由于 在点 处连续,因此 . 故

因为 ,故 成为未定式,其存在性无法确定.
例如,取 ,就有 ,满足①的条件但在 处不可导.
②与①类似,可知 ,且

因为 ,所以 ,从而 存在且为 0 .
③,④因为题目并没有给出条件 ,所以 和 都有可能是无穷大 (当 时,这两个式子都是 “ ” 型),所以两个说法均不正确.
综上, 只有②正确.